RELATIVE EXACTNESS MODULO A POLYNOMIAL MAP AND ALGEBRAIC ( C p , + ) - ACTIONS

— Let F = (f1, . . . , fq) be a polynomial dominating map from Cn to Cq. We study the quotient T 1(F ) of polynomial 1-forms that are exact along the generic fibres of F , by 1-forms of type dR+ ∑ aidfi, where R, a1, . . . , aq are polynomials. We prove that T 1(F ) is always a torsion C[t1, . . . , tq ]-module. Then we determine under which conditions on F we have T 1(F ) = 0. As an application, we study the behaviour of a class of algebraic (Cp,+)-actions on Cn, and determine in particular when these actions are trivial. Résumé (Exactitude relative modulo une application polynomiale et actions algébriques de (Cp,+)) Soit F = (f1, . . . , fq) une application polynomiale dominante de Cn dans Cq. Nous étudions le quotient T 1(F ) des 1-formes polynomiales qui sont exactes le long des fibres génériques de F , par les 1-formes du type dR + ∑ aidfi, où R, a1, . . . , aq sont des polynômes. Nous montrons que T 1(F ) est toujours un C[t1, . . . , tq]-module de torsion. Nous déterminons ensuite sous quelles conditions sur F ce module est réduit à zéro. En application, nous étudions le comportement d’une classe d’actions algébriques de (Cp,+) sur Cn, et nous déterminons en particulier quand ces actions sont triviales.